Autokorélasi

Ti Wikipédia, énsiklopédia bébas
Luncat ka: pituduh, sungsi

Autokorélasi ngarupakeun salah sahiji alat matematika anu remen digunakeun dina signal processing keur analisa fungsi atawa deret nilai, saperti domain waktu signals. Autokorélasi nyaeta cross-correlation hiji signal jeung signalna sorangan. Autokorélasi ilahar dipake keur manggihkeun pola "pengulangan" dina signal, saperti nangtukeun aya periode signal nu kaganggu atawa keur identifikasi frekuensi dasar signal nu teu mibanda komponen frekuensi, tapi mangaruhan kana frekuensi nu harmonis.

Harti[édit | sunting sumber]

Bedana definisi autokorélasi nu dipake gumantung kana widang elmu nu ditalungtik nu satemenna teu sarua. Dina sababaraha widang elmu istilahna diganti ku autocovariance.

Statistik[édit | sunting sumber]

Dina statistik, fungsi autokorelasi (ACF) keur deret waktu diskrit atawa hiji proses Xt hartina korelasi antara proses dina titik nu beda tur beda waktu oge. Lamun Xt ngabogaan mean μ jeung varian σ2 mangka definisi ACF nyaeta

R(t,s) = \frac{E[(X_t - \mu)(X_s - \mu)]}{\sigma^2}.

numana E nyaeta nilai ekspektasi. Nilai ekspektasi ieu teu bisa dipake sacara umum keur sakabeh deret waktu atawa proses lamun nilai varian sarua jeung nol (keur proses nu konstan) atawa tak hingga. Fungsi ieu mibanda harti nu umum lamun dihartikeun ngabogaan sifat nu aktraktif dina rentang [−1, 1], numana 1 nunjukeun korelasi nu sampurna sarta −1 nunjukeun anti-korelasi nu sampurna.

Lamun Xt ngarupakeun orde-dua statis mangka ACF ngan gumantung kana beda antara t jeung s sarta bisa digambarkeun salaku fungsi variabel tunggal. Hal ieu geus ilahar make rumus nu umum nyaeta ,

R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2}

lamun k ngarupakeun lag (|t - s|). Dina sababarha widang elmu digambarkeun ku normalisasi σ2 sarta make watesan autocorrelation nu kadangkala disebut oge autocovariance. Keur conto panjang deret waktu n, X1, X2 ... Xn numana mean jeung varian dipikanyaho mangka nilai estimasi-na ditangtukeun tina

 \hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} (f(t)-\mu)(f(t+k)-\mu).

keur k \in \mathbb{N}.

Lamun nilai mean atawa varian keur proses ieu teu dipikanyaho mangka μ sarta σ2 bisa diganti ku rumus standar keur sampel mean jeung sampel varian sanajan hasilna nujul kana bias dina nilai estimasi-na[1].

Signal processing[édit | sunting sumber]

Dina signal processing, definisi teu diluhur salawasna dipake bari teu make normalisasi, nyaeta, teu ngurangan mean sarta ngabagi ku varianna.

Upamana signal f(t), autokorelasi kontinyu Rff(τ) salawasna dihartikeun salaku integral korelasi-silang kontinyu tina f(t)-na sorangan, dina lag τ.

R_{ff}(\tau) = f^*(-\tau) \circ f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt

numana f* nunjukeun kompleks konjuget sarta lingkaran nunjukkeun konvolusi. Keur fungsi ril, f* = f.

Autokorelasi diskrit R at lag j keur signal diskrit xn nyaeta

R_{xx}(j) = \sum_n (x_n)(x^*_{n-j} )\,

Definisi diluhur dipake keur signals nu ngarupakeun integral kuadrat atawa jumlah kuadrat, nyaeta nu energina kawates. Signals nu "pamungkas salawasna" dianggap gaganti proses acak, nu mana diperlukeun definisi nu beda, dumasar kana nilai ekspektasi. Keur proses acak statis nu leuwih lega, autokorelasi dihartikeun salaku

R_{ff}(\tau) = E\left[f(t)f^*(t-\tau)\right]
R_{xx}(j) = E\left[x_n x^*_{n-j}\right]

Keur proses anu henteu stationary, ngarupakeun fungsi tina t, atawa n oge.

Alternatipna, signals nu salawasna pamungkas bisa dirobah kana analisa fungsi autokorelasi keur waktu nu pondok, make integral waktu nu kawengku (Tempo short-time Fourier transform keur proses nu pakait.)

Autokorelasi multi-dimension bisa dihartikeun ku cara nu sarua. Contona, dina autokorelasi tilu dimenasi dina kuadrat-jumlah signal diskrit bisa jadi

R(j,k,\ell) = \sum_{n,q,r} (x_{n,q,r})(x_{n-j,q-k,r-\ell}).

Lamu nilai mean dikurangkeun tina signal samemeh diitung dina fungsi autokorelasi, fungsi nu dihasilkeun disebut oge fungsi auto-covarian.

Sipat[édit | sunting sumber]

Saterusna arek dijelaskeun sipat autokorélasi dina hiji-dimensi, sabab satemenna loba sipat hiji-dimensi nu gampang keur dipake dina kasus multi-dimensi.

  • Sipat dasar autokorélasi nyaeta simetri, R(i) = R(−i), numana gampang dibuktikeun tina harti ieu. Dina kasus kontinyu, autokorélasi nyaeta even function
R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,
numana f nyaeta fungsi riil sarta autokorélasi nyaeta fungsi Hermitian
R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,
numana f nyaeta complex function.
  • Fungsi autokorélasi kontinyu nujul ka pucuk dina aslina, lamun nilaina ril, contona keur unggal delay τ, |R_f(\tau)| \leq R_f(0). Ieu alatan tina kateusaruaan Cauchy-Schwarz. Hasil nu sarua keur sakabeh kasus diskrit.
  • Autokorelasi dina [[periodic function|fungsi periodik] nyaeta periodik nu sarua dina unggal periode.
  • Jumlah autokorelasi tina dua fungsi nu teu sarua (kros-korelasi sarua jeung nol keur sakabeh τ) nyaeta jumlah autokorelasi jeung unggal fungsi anu misah.
  • Lamun autokorelasi ngarupakeun tipe husus tina korelasi-silang, mangka sakabeh sifat korelasi-silang bisa dipake.
  • Autokorelasi tina signal white noise bakal mibanda pucuk nu leuwih kuat dina τ = 0 sarta bakal leuwih deukeut kana 0 keur sakabeh τ sejenna. Ieu nembongkeun yen sample nu dicokot ngadadak tina signal white noise sacara statistik teu pakait jeung sample sejen nu dicokot ngadadak dina waktu sejenna
R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df
S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.

Autokorélasi dina analisa regresi[édit | sunting sumber]

Dina regression analysis migunakeun time series, autokorélasi nyaeta sesa tina ieu masalah, sarta nuju ka arah bias nu luhur dina estimasi statistical significance tina koefisien estimasi, saperti dina T statistic. Tes standar keur ayana autokorélasi nyaeta Durbin-Watson statistic atawa, lamun ngajelaskeun variabel kaasup lagged dependent variable, Durbin's h statistic.

Respon keur autokorélasi kaasup differencing data sarta ayana struktur "lag" dina estimasi.

Pamakean[édit | sunting sumber]

  • Dina optik, normalized autokorélasi sarta cross-correlations mere hasil degree of coherence dina medan elektromagentik.

Tempo oge[édit | sunting sumber]

Tumbu kaluar[édit | sunting sumber]

Rujukan[édit | sunting sumber]

  1. Spectral analysis and time series, M.B. Priestley (London, New York : Academic Press, 1982)