Téoréma Cochran

Ti Wikipédia, énsiklopédia bébas basa Sunda
Luncat ka: pituduh, sungsi

Dina statistika, téoréma Cochran digunakeun dina analisis varian.

Anggap U1, ..., Un ngarupakeun standar variabel random bebas nu kasebar normal, sarta dina bentuk identitas


\sum_{i=1}^n U_i^2=Q_1+\cdots + Q_k

bisa dituliskeun yen unggal Qi nyaeta jumlah kuadrat kombinasi liniér tina U. Mangka lamun


r_i+\cdots +r_k=n

numana ri ngarupakeun rangking tina Qi, teorema Cochran nangtukeun yen Qi bebas sarta Qi ngabogaan sebaran chi-kuadrat nu mibanda tingkat kabebasan ri.

Téoréma Cochran ngarupakeun konversi téoréma Fisher.

Conto[édit | sunting sumber]

Lamun X1, ..., Xn ngarupakeun variabel random bebas nu kasebar normal mibanda mean μ sarta simpangan baku σ mangka

U_i=(X_i-\mu)/\sigma

ngarupakeun standar normal keur unggal i.

Ieu mungkin keur nulis


\sum U_i^2=\sum\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2
+ n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2

(didieu, jumlahna ti 1 nepi ka n, dumasar kana observasi). Keur nempo ieu identitas, kalikeun ku \sigma sarta catet yen


\sum(X_i-\mu)^2=
\sum(X_i-\overline{X}+\overline{X}-\mu)^2

sarta legaan keur manggihkeun


\sum(X_i-\overline{X})^2+\sum(\overline{X}-\mu)^2+
2\sum(X_i-\overline{X})(\overline{X}-\mu).

Watesan katilu sarua jeung nol sabab ieu angger kana waktu

\sum(\overline{X}-X_i),

sarta watesan kadua ngan watesan n identik nu ditambahkeun babarengan.

Kombinasi di luhur ngahasilkeun (sarta dibagi ku σ2), urang mibanda:


\sum\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=
\sum\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2
+n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2
=Q_1+Q_2.

Ayeuna rengking Q2 ngan 1 (ieu ngarupakeun kuadrat tina hiji kombinasi linier variabel normal standar). Rengking Q1 bisa ditembongkuen jadi n − 1, sarta kondisi teorema Cochran kapanggih.

Teorema Cochran netepkeun yen Q1 and Q2 ngarupakeun bebas, mibanda sebaran chi-kuadrat n − 1 sarta 1 tingkat kabebasan.

Ieu nembongkeun yen sampel mean sarta sampel varian bebas; sarta


(\overline{X}-\mu)^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_1.

Keur estimasi varian &sigma2, hiji estimator nu biasa digunakeun nyaeta


\hat{\sigma^2}=
\frac{1}{n}\sum\left(
X_i-\overline{X}\right)^2 .

Teorema Cochran nembongkeun yen


\hat{\sigma^2}\sim
\frac{\sigma^2}{n}\chi^2_{n-1}

nu nembongkeun yen nilai ekspektasi \hat{\sigma}^2 nyaeta σ2n/(n − 1).

Dua sebaran ieu ngarupakeun proporsi kana varian sabenerne tapi teu dipikanyaho σ2; mangka ieu rasio ngarupakeun σ2 bebas sabab duana bebas, mangka urang miboga


\frac{\left(\overline{X}-\mu\right)^2}
{\frac{1}{n}\sum\left(X_i-\overline{X}\right)^2}\sim
F_{1,n}

numana F1,n ngarupakeun sebaran-F nu mibanda 1 sarta n tingkat kabebasan (tempo oge sebaran-t student).