Sebaran chi-kuadrat

Keur satiap positip integer $k$, sebaran chi-kuadrat nu mibanda k tingkat kabebasan nyaeta probability distribution variabel acak

$X=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}$

numana Z₁, ..., Z_k ngarupakeun variabel normal bebas, masing-masing nilai ekspektasi 0 jeung varian 1. Sebaran ieu biasa ditulis

$X\sim \chi _{k}^{2}$

Lamun $p$ watesan linier homogen bebas ditumpukeun dina ieu variabel, kayaan sebaran $X$ dina watesan ieu nyaeta $\chi _{k-p}^{2}$, dipastikeun salaku watesan "tingkat kabebasan". Characteristic function sebaran Chi-kuadrat nyaeta

$\phi (t)=(1-2it)^{k/2}.$

Sebaran chi-kuadrat ngabogaan aplikasi numeris dina kaputusan statistik, contona dina tes chi-kuadrat jeung estimasi varian. Ieu bisa diasupkeun kana masalah estimasi mean dina populasi sebaran normal jeung masalah estimasi slope dina garis regression ku aturan dina sebaran-t student. Ieu diasupkeun kana sakabeh masalah analisa varian ku aturan dina sebaran-F, nu ngarupakeun sebaran perbandingan dua chi-kuadrat variabel acak.

Rumus probability density function nyaeta

$p_{k}(x)={\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\quad {\mbox{ for }}x>0$

jeung p_k(x) = 0 keur x≤0. Di dieu Γ ngalambangkeun fungsi gamma.

Pendekatan normal

Lamun $X\sim \chi _{k}^{2}$, saterusna $k$ nuju ka takterhingga, sebaran $X$ nuju ka normal. Sanajan kitu, kacenderunganna lalaunan (skewness nyaeta $8/k$ jeung kurtosis nyaeta $12/k$) sarta dua transpormasi umumna diperhatoskeun, unggal pendekatan normal leuwih gancang tinimbang $X$ sorangan:

Fisher nembongkeun yen ${\sqrt {2X}}$ ngadeukeutan sebaran normal nu mibanda mean ${\sqrt {2k-1}}$ jeung unit varian.

Wilson and Hilferty dina taun 1931 nembongkeun yen ${\sqrt[{3}]{X/k}}$ nyaeta pendekatan sebaran normal nu mibanda mean $1-2/(9k)$ jeung varian $2/(9k)$.

Nilai ekspektasi tina variabel random ngabogaan sebaran chi-kuadrat nu mibanda k tingkat kabebasan k jeung varian nyaeta 2k. Median dina ieu kaayaan dideukeutan ku

$k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}.$

Catetan yen 2 tingkat kabebasan nuju kana sebaran eksponensial.

Sebaran chi-kuadrat dina kasus husus nyaéta sebaran gamma.

Tempo Teorema Cochran.