Sebaran eksponensial

Dina teori probabiliti jeung statistik, sebaran eksponensial nyaéta sebaran probailiti kontinyu nu mibanda probability density function (pdf)

Pdf of exponential distribution for λ =0.5, 1.0, and 1.5.

$f(t)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda t}&,\;t\geq 0,\\0&,\;t<0.\end{matrix}}\right.$

nu mana λ > 0 mangrupa paraméter sebaran.

Cumulative distribution function diberekeun ku

$F(x)=1-e^{-\lambda t}\,\!$

Nilai ekspektasi jeung simpangan baku variabel random eksponensial duaana nyaéta 1/λ (sarta varianna nyaéta 1/λ².)

Sebaran eksponensial dipaké keur modél proses Poisson, nu mana kaayaanna obyek awal dina tetapan A bisa robah kana tetapan B nu mibanda konstanta probabiliti per satuan waktu λ. Waktu nu robah dina tetapan sabenerna dijelaskeun ku variabel random eksponensial nu mibanda paraméter λ. Sanajan kitu, integral ti 0 ka T dina f mangrupa probabiliti nu obyekna dina tetapan B nyaéta waktu T.

Sebaran eksponensial bisa ditempo salaku lawan tina sebaran geometrik, nu ngajelaskeun wilangan Bernoulli trial penting keur prosés diskrit ka robahna tetapan. Beda jeung sebaran eksponensial nu ngajelaskeun waktu keur prosés kontinyu kana robahna tetapan.

Conto variabel nu ngadeukeutan sebaran eksponensial nyaéta:

• waktu kajadian kacilakaan mobil saterusna
• waktu narima telpon saterusna (anggap narima loba telpon unggal poe, atawa narima telpon ti jalama nu beda waktuna)
• jarak antara mutasi dina ranteDNA
• jarak antara roadkill
• waktu penguraian radioaktif
• jumlah alungan dadu dina alungan 6 11 kali dina baris

Sipat penting tina sebaran eksponensial nyaéta kurang memori. Ieu hartina yén variabel random T kasebar eksponsial, probabiliti kondisional nurut kana

$P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.$

Ieu hartina yén probabiliti kondisional yén perlu ngadagoan, contona, leuwih ti 10 detik samemeh datang mimiti, diberekeun yén waktu datang teu kajadian sanggeus 30 detik, teu beda tina probabiliti mimiti nu merlukeun waktu ngadagoan leuwih ti 10 detik keur nu datang mimiti. Ieu sok salah harti ku siswa nu nyokot pangajaran probabiliti: kanyataanna yén P(T > 40 | T > 30) = P(T > 10) lain hartina yén kajadian T > 40 sarta T > 10 hal nu bebas. Kasimpulanna: "memorlessness" sebaran probabiliti waktu ngadagoan T salili datang mimiti hartina

$\mathrm {(Right)} \ P(T>40\mid T>30)=P(T>10).$

Lain hartina

$\mathrm {(Wrong)} \ P(T>40\mid T>30)=P(T>40).$

Ieu kudu bebas. Dua kajadian ieu heunteu bebas.

Generating variabel ku sebaran eksponensial

Diberekeun variabel random Y nu mibanda sebaran seragam dina interval (0;1], variabel

$T={\frac {-\ln Y}{\lambda }}$

ngabogaam sebaran eksponensia; nu mibanda paraméter λ.