Fungsi gamma

Ti Wikipédia, énsiklopédia bébas
Luncat ka: pituduh, sungsi
Gamma.png
Gamma abs.png

Dina matematik, fungsi gamma nyaéta fungsi nu leuwih lega tina konsep faktorial kana wilangan kompleks.

Harti[édit | édit sumber]

Lambang Γ(z) dumasar ka Adrien-Marie Legendre. Lamun bagéan real tina wilangan kompleks z positip, mangka integral


\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

pasti konvergen. Migunakeun integral parsial, bisa ditembongkeun yén

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.

Sabab Γ(1) = 1, dina kaitan ieu ngakibatkeun yen

\Gamma(n+1)=n!\,

keur sakabeh wilangan natural n. Ieu bisa dipaké keur ngalegaan Γ(z) jadi fungsi meromorpik diartikeun keur sakabar wilangan kompleks z ial z = 0,  −1, −2, −3, ... ku analisa kontinyu. Hal nu leuwih lega ilaharna dumasar salaku fungsi gamma. Notasi alternatip nu kadangkala dipaké nyaéta fungsi Pi, nu dina watesan fungsi gamma nyaéta

\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z\Gamma(z).

Kadangkala ogé manggihkeun

\pi(z) = {1 \over \Pi(z)}\,

nu mangrupa hiji fungsi sakabehna, diartikeun keur sakabeh wilangan kompleks. yén π(z) mangrupa sakabeh nu diperlukeun anu teu mibanda kutub, mangka Γ(z) teu mibanda nol.

Bisa ogé nilai keur fungsi gamma dina non-integer nyaéta

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

Fungsi gamma mibanda hiji kutub orde 1 dina z = −n keuw sakabeh wilangan alami n; sesana diberekeun ku

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

Bentuk kakali fungsi gamma saterusna nyaéta valid keur sakabeh wilangan kompleks z nu lain integer non-positip:

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

numana γ mangrupa konstanta Euler-Mascheroni.

TeoremaBohr-Mollerup nangtukeun yén antara sakabeh fungsi dilegaan ku fungsi faktorial kana wilangan riil positip, ngan lamun fungsi gamma mangrupa log-convex.

Kaitan jeung fungsi sejen[édit | édit sumber]

Dina integral di luhur, nu ngahartikeun fungsi gamma, watesan integralna geus ditangtukeun. Fungsi gama nu teu lengkep mangrupa fungsi nu ditangtukeun ku nuturkeun wates luhur atawa handap tina integral jadi variabel. Turunan logaritma fungsi gamma disebutna fungsi digamma.

Tempo oge[édit | édit sumber]

Rujukan[édit | édit sumber]

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
  • G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)

Tumbu kaluar[édit | édit sumber]