Autokorélasi

Autokorélasi mangrupa salah sahiji alat matematika anu remen digunakeun dina signal processing keur analisa fungsi atawa deret nilai, saperti domain waktu signals. Autokorélasi nyaéta cross-correlation hiji signal jeung signalna sorangan. Autokorélasi ilahar dipaké keur manggihkeun pola "pengulangan" dina signal, saperti nangtukeun aya périodeu signal nu kaganggu atawa keur identifikasi frékuénsi dasar signal nu teu mibanda komponen frékuénsi, tapi mangaruhan kana frékuénsi nu harmonis.

Harti

bédana definisi autokorélasi nu dipaké gumantung kana widang elmu nu ditalungtik nu satemenna teu sarua. Dina sababaraha widang elmu istilahna diganti ku autocovariance.

Statistik

Dina statistik, fungsi autokorelasi (ACF) keur deret waktu diskrit atawa hiji prosés X_t hartina korelasi antara prosés dina titik nu béda tur béda waktu oge. Lamun X_t mibanda mean μ jeung varian σ² mangka definisi ACF nyaéta

$R(t,s)={\frac {E[(X_{t}-\mu )(X_{s}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}$.

nu mana E nyaéta nilai ekspektasi. Nilai ekspektasi ieu teu bisa dipaké sacara umum keur sakabéh deret waktu atawa prosés lamun nilai varian sarua jeung nol (keur prosés nu konstan) atawa tak hingga. Fungsi ieu mibanda harti nu umum lamun dihartikeun mibanda sifat nu aktraktif dina rentang [−1, 1], nu mana 1 nunjukkeun korelasi nu sampurna sarta −1 nunjukkeun anti-korelasi nu sampurna.

Lamun X_t mangrupa orde-dua statis mangka ACF ngan gumantung kana béda antara t jeung s sarta bisa digambarkeun salaku fungsi variabel tunggal. Hal ieu geus ilahar maké rumus nu umum nyaéta,

$R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu )(X_{i+k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}$

lamun k mangrupa lag (|t - s|). Dina sababarha widang elmu digambarkeun ku normalisasi σ² sarta maké watesan autocorrelation nu kadangkala disebut ogé autocovariance. Keur conto panjang deret waktu n, X₁, X₂ ... X_n nu mana méan jeung varian dipikanyaho mangka nilai estimasi-na ditangtukeun tina

${\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(f(t)-\mu )(f(t+k)-\mu )$.

keur $k\in \mathbb {N}$.

Lamun nilai méan atawa varian keur prosés ieu teu dipikanyaho mangka μ sarta σ² bisa diganti ku rumus standar keur sampel méan jeung sampel varian sanajan hasilna nujul kana bias dina nilai estimasi-na.

Signal processing

Dina signal processing, definisi teu di handap salawasna dipaké bari teu maké normalisasi, nyaéta, teu ngurangan méan sarta ngabagi ku varianna.

Upamana signal f(t), autokorelasi kontinyu R_ff(τ) salawasna dihartikeun salaku integral korelasi-silang kontinyu tina f(t)-na sorangan, dina lag τ.

$R_{ff}(\tau )=f^{*}(-\tau )\circ f(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\,dt$

nu mana f^* nunjukkeun kompleks konjuget sarta lingkaran nunjukkeun konvolusi. Keur fungsi ril, f^* = f.

Autokorelasi diskrit R at lag j keur signal diskrit x_n nyaéta

$R_{xx}(j)=\sum _{n}(x_{n})(x_{n-j}^{*})\,$

Definisi di handap dipaké keur signals nu mangrupa integral kuadrat atawa jumlah kuadrat, nyaéta nu énérgina kawates. Signals nu "pamungkas salawasna" dianggap gaganti prosés acak, nu mana diperlukeun definisi nu béda, dumasar kana nilai ekspektasi. Keur proses acak statis nu leuwih lega, autokorelasi dihartikeun salaku

$R_{ff}(\tau )=E\left[f(t)f^{*}(t-\tau )\right]$

$R_{xx}(j)=E\left[x_{n}x_{n-j}^{*}\right]$

Keur prosés anu henteu stationary, mangrupa fungsi tina t, atawa n oge.

Alternatipna, signals nu salawasna pamungkas bisa dirobah kana analisa fungsi autokorelasi keur waktu nu pondok, maké integral waktu nu kawengku (Tempo short-time Fourier transform keur prosés nu pakait.)

Autokorelasi multi-dimension bisa dihartikeun ku cara nu sarua. Contona, dina autokorelasi tilu dimenasi dina kuadrat-jumlah signal diskrit bisa jadi

$R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}(x_{n,q,r})(x_{n-j,q-k,r-\ell }).$

Lamu nilai méan dikurangkeun tina signal saméméh diitung dina fungsi autokorelasi, fungsi nu dihasilkeun disebut ogé fungsi auto-covarian.

Sipat

Saterusna arek dijelaskeun sipat autokorélasi dina hiji-dimensi, sabab satemenna loba sipat hiji-dimensi nu gampang keur dipaké dina kasus multi-dimensi.

• Sipat dasar autokorélasi nyaéta simetri, R(i) = R(−i), nu mana gampang dibuktikeun tina harti ieu. Dina kasus kontinyu, autokorélasi nyaéta even function

$R_{f}(-\tau )=R_{f}(\tau )\,$

numana f nyaéta fungsi riil sarta autokorélasi nyaéta fungsi Hermitian

$R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )\,$

numana f nyaéta complex function.

• Fungsi autokorélasi kontinyu nujul ka pucuk dina aslina, lamun nilaina ril, contona keur unggal delay τ, $|R_{f}(\tau )|\leq R_{f}(0)$. Ieu alatan tina kateusaruaan Cauchy-Schwarz. Hasil nu sarua keur sakabéh kasus diskrit.
• Autokorelasi dina fungsi periodik nyaéta periodik nu sarua dina unggal périodeu.
• Jumlah autokorelasi tina dua fungsi nu teu sarua (kros-korelasi sarua jeung nol keur sakabéh τ) nyaéta jumlah autokorelasi jeung unggal fungsi anu misah.
• Lamun autokorelasi mangrupa tipe husus tina korelasi-silang, mangka sakabéh sifat korelasi-silang bisa dipaké.
• Autokorelasi tina signal white noise bakal mibanda pucuk nu leuwih kuat dina τ = 0 sarta bakal leuwih deukeut kana 0 keur sakabéh τ séjénna. Ieu nembongkeun yén sample nu dicokot ngadadak tina signal white noise sacara statistik teu pakait jeung sample séjén nu dicokot ngadadak dina waktu séjénna
• Kakaitan Wiener-Khinchin theorem fungsi autokorelasi kana power spectral density ngaliwatan Fourier transform:

$R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,df$

$S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .$

Autokorélasi dina analisa regresi

Dina regression analysis ngagunakeun time series, autokorélasi nyaéta sesa tina ieu masalah, sarta nuju ka arah bias nu luhur dina estimasi statistical significance tina koefisien estimasi, saperti dina T statistic. Tes standar keur ayana autokorélasi nyaéta Durbin-Watson statistic atawa, lamun ngajelaskeun variabel kaasup lagged dependent variable, Durbin's h statistic.

Respon keur autokorélasi kaasup differencing data sarta ayana struktur "lag" dina estimasi.

Pamakean

• Salah sahiji pamakéan autokorélasi nyaéta dina ngukur spektra optik jeung "pengukuran" durasi-pangpondok na light pulses nu dihasilkeun ku laser, maké optical autocorrelators.
• Dina optik, normalized autokorélasi sarta cross-correlations méré hasil degree of coherence dina medan elektromagentik.
• Dina signal processing, autokorélasi bisa méré informasi ngeunaan ulangan kajadian saperti music beat atawa pulsar frequencies, nu ngaliwatan tapi teu bisa nangtukeun posisina.

Tempo oge

• Cross-correlation

Tumbu kaluar

• (en) Eric W. Weisstein, Autocorrelation di MathWorld.
• Autocorrelation articles in Comp.DSP (DSP usenet group). Archived 2005-02-12 di Wayback Machine