Prinsip likelihood

Dina statistik, prinsip likelihood mangrupa prinsip kontroversi tina inferensi statistik, nu mana ieu prinsip nempokeun sakabéh informasi dina sampel nu aya dina fungsi likelihood.

Fungsi likelihood nyaéta distribusi probabilitas kondisional dianggap minangka fungsi argumen, nu mana fungsi mimitina dianggap angger. Conto, anggap hiji modél nempokeun fungsi dénsitas probabilitas (dina kasus diskrit, fungsi probabilitas massa) nu dicokot tina variabel acak X minangka fungsi paraméter θ. Saterusna keur niley husus x, fungsi L(θ) = P(X = x | θ) nyaéta fungsi likelihood θ. Dua fungsi likelihodd dianggap sarua lamun mangrupa hasil kali dua skalar; prinsip likelihood nyebutkeun yén sakabéh informasi nu pakait jeung kasimpulan ngeunaan niley θ bakal kapanggih dina kelas nu sarua.

Conto

Anggap

• X jumlah sukses dina lima kali percobaan Bernoulli nu bebas, mibanda probabiliti sukses θ dina unggal percobaan, sarta
• Y mangrupa jumlah percobaan Bernoulli bébas nu diperlukeun keur meunang tilu sukses, nu mibanda ogé probabiliti sukses θ unggal percobaan.

Mangka observasi yén X = 3 nyababkeun fungsi likelihood

$L(\theta )=10\theta ^{3}(1-\theta )^{2}$

sarta observasi yén Y = 5 nyababkeun fungsi likelihood

$L(\theta )=6\theta ^{3}(1-\theta )^{2}.$

Ieu sarua sabab hasil kali skala. Prinsip likelihood nyebutkeun yén kaputusan nu digambarkuen ngadeukeutan nilai θ kudu sarua dina dua kasus eta.

béda antara observing X = 3 jeung observing Y = 5 ngan ukur dina desain percobaan: dina hiji kasus, hiji mibanda kaputusan jéntré keur nyoba lima kali; dinu séjénna, nyoba tilu sukses nu di-observasi. Hasil-na sarua dina dua kasus eta. Sanajan kitu, prinsip likelihood kadangkala netepkeun yen:

Kaputusan kudu gumantung ngan kana hasil percobaan, sarta lain kana desain percobaan.

Hukum likelihood

Konsép nu pakait nyaéta hukum likelihood, notasi nu dilegaan keur ngadukung hiji nilai paraméter atawa hipotesa séjénna sarua jeung rasio likelihood-na. Upamana, P(X | a)/P(X | b) nyaéta tingkat nu mana data X ngadukung nilai paraméter atawa hipotesa a ka b. Lamun rasio ieu sarua jeung 1, bukti kajadian teu béda, jeung lamun leuwih atawa kurang ti 1, kajadian a ngadukung b atawa sabalikna.

Kombinasi prinsip likelihood nu ngagunakeun hukum likelihood ngahasilkeun konsekuensi yén nilai paraméter nu dimaksimalkeun ku fungsi likelihood nyaéta nilai nu leuwih didukung ku kajadian. Dumasar kana hal ieu ilahar dipaké metoda maksimum likelihood.

Catetan sajarah

Prinsip likelihood mimiti kapanggih dina sababaraha tulisan dina taun 1962 (Barnard et al., Birnbaum, and Savage et al.), tapi alesan keur prinsip nu sarua, teu maké ngaran, tur maké prinsip ieu dina sababaraha hal, bisa kapanggih dina sababaraha pagawéan R.A. Fisher dina taun 1920. Hukum likelihood diwanohkeun ku I. Hacking (1965). Nu leuwih anyar dina prinsip likelihood minangka prinsip nu ilahar dipaké dina inferensi mimiti diwanohkeun ku Anthony W.F. Edwards. Prinsip likelihood geus dipaké dina elmu filsuf ku R. Royall.

Alesan keur jeung lawan prinsip likelihood

Prinsip likelihood teu ditarima sacara universal. Sababaraha métodeu konvensional masih dipaké dina statistik, contona tes signifikan, nu teu konsisten dina prinsip likelihood. Sacara jelas katempo yén tes rasio-likelihood dumasar kana ieu prinsip. Urang tempo sacara singget sababaraha alesan keur jeung lawan prinsip likelihood.

Alesan dina prinsip likelihood

Tina panempo Bayesian, prinsip likelihood aya dina saluareun teori Bayes. Hiji observasi A asup kana rumus,

$P(B|A)={\frac {P(A|B)\;P(B)}{P(A)}}={\frac {P(A|B)\;P(B)}{\sum _{B'}P(A|B')\;P(B')}}$

ngan maké fungsi likelihood, $P(A|B)$. Sacara umum, observasi datang kana aturan ngaliwatan fungsi likelihood jeung ngan maké fungsi likelihood: taya mekanisme séjén nu diperlukeun.

Alesan lawan prinsip likelihood

Prinsip likelihood nyebutkeun yén unggal kajadian nu teu jadi teu mangaruhan dina hiji kajadian, lamun aya teu bener-bener kajadian tapi mangaruhan kana hiji kajadian, mangka aya sababaraha informasi nu teu kawengku dina fungsi likelihood. Sanajan kitu, aya nu teu bener-bener kajadian dipaké dina sababaraha hal nu ilahar dina métodeu statistik. Upamana hasil tina tes signifikan gumantung kana hasil ekstrim atawa leuwih ekstrim tina probabilitas tinimbang tina observasi. Mangka keur ngalegaan ieu métodeu , prinsip likelihood teu dipaké.

Prinsip likelihood keur sababaraha urang nembongkeung hasil nu ampir "paradoks". Conto nu ilahar dipaké nyaéta opsi ngeureunkeun masalah. Anggap kuring ngalungkeun koin sapuluh kali tur meunang tujuh kali sirah. Mangka anjeun bakal ngira-ngira ngeunaan probabilitas éta sirah. Anggap ayeuna kuring nyebutkeun yén kuring ngalungkeun koin nu katempo 7 sirah sarta ngalungkeunna sapuluh kali. Naha anjeun nyieun kasimpulan nu béda ?

Fungsi likelihood dina dua kases eta, nyaéta sarua jeung

$p^{7}\;(1-p)^{3}$

Dumasar kana prinsip likelihood, kasimpulan kudu sarua dina kasus nu béda. Tapi ieu ampir sarua jeung kajadian nguseup: bisa dianggap cukup keur alesan nu ngahasilkeun kasimpulan tina kasus ngaleungkeun koin tadi. Aya sababaraha conto paradoks séjén dina kahirupan dianggap lawan kana prinsip likelihood.

Rujukan

• G.A. Barnard, G.M. Jenkins, and C.B. Winsten. "Likelihood Inference and Time Series", J. Royal Statistical Society, series A, 125:321-372, 1962.
• Allan Birnbaum. "On the foundations of statistical inference". J. Amer. Statist. Assoc. 57(298):269–326, 1962. (With discussion.)
• Anthony W.F. Edwards. Likelihood. 1st edition 1972 (Cambridge University Press), 2nd edition 1992 (Johns Hopkins University Press).
• Anthony W.F. Edwards. "The history of likelihood". Int. Statist. Rev. 42:9-15, 1974.
• Ronald A. Fisher. "On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics", Phil. Trans. Royal Soc., series A, 222:326, 1922. (On the web at: [1] Archived 2005-12-13 di Wayback Machine)
• Ian Hacking. Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, 1965.
• Richard M. Royall. Statistical Evidence: A Likelihood Paradigm. London: Chapman & Hall, 1997.
• Léonard J. Savage et al. The Foundations of Statistical Inference. 1962.

Tumbu kaluar

• Anthony W.F. Edwards. "Likelihood". http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/D-99-10.html Archived 2020-01-26 di Wayback Machine
• Jeff Miller. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L)
• John Aldrich. Likelihood and Probability in R. A. Fisher’s Statistical Methods for Research Workers