Efficiency (statistics)

Dina statistik, efisiensi nyaéta salah salah ukuran keur estimator.

Efisiensi dina unbiased statistik T dihartikeun salaku

$e(T)={\frac {1/I(\theta )}{{\rm {var\ }}T}}$

nu mana I(θ) nyaéta sampel informasi Fisher. Mangka e(T) nyaéta varian mininum nu mungkin keur éstimator unbiased dibagi ku varian sabenerna. Dina Cramér-Rao inequality ngabuktikeun yén e(T) ≤ 1.

$\mathrm {var} \left({\widehat {\theta }}\right)\geq {\frac {1}{{\mathcal {I}}(\theta )}}$

$1\geq {\frac {1/{\mathcal {I}}(\theta )}{\mathrm {var} \left({\widehat {\theta }}\right)}}\to 1\geq e(T)$

Estimator efisien

Lamun estimator tina paraméter, $\theta \in \Theta$, sarua jeung $e(T)=1$ keur sakabéh nilai paraméter, maka ieu éstimator disebut efisien.

Hartina, éstimator sarua jeung Cramér-Rao inequality $\forall \,\theta \in \Theta$.

Saterusna, éstimator efisien lamun unbiased mangrupa minimum variance unbiased estimator oge. Hal ieu sabab éstimator efisien mertahankeun kasaruan dina Cramér-Rao inequality keur sakabéh nilai paraméter, nu mana hartina nepi ka nilai varian minimum keur sakabéh paraméter (definisi MVU éstimator). Kudu dicatet yén éstimator MVU teu salawasna efisien sabab "minimum" teu salawasna kajadian dina Cramér-Rao inequality.

Asimtot efisiensi

Keur sababaraha estimator bisa nepi ka asimtot efisiensi tur disebutna éstimator efisien asimtot. Kasus ieu kapanggih dina éstimator maximum likelihood atawa keur éstimator nu sarua jeung asimtot Cramér-Rao inequality.

Conto

Anggap ukuran sampel n dicokot tina méan μ jeung varian sebaran normal.

Sample mean ${\overline {x}}$ tina runtuyan sample $x[0],x[1],\ldots ,x[N-1]$, dirumuskeun ku

${\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

mangka gedéna varian 1/n. Ieu sarua jeung informasi Fisher bulak balik tina sampel (katempo jéntré tina definisi) mangka ngagunakeun Cramér-Rao inequality, sampel méan nyaéta efisien dina efisiensi ieu sarua jeung hiji.

Ayeuna tempo sample median. Hal ieu mangrupa éstimator nu unbiased jeung consistent keur μ. Keur n nu gedé, sampel median ngadeukeutan kana sebaran normal nu mana méan μ jeung varian ${\frac {\pi }{2N}}$ (contona, $x[n]\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,{\frac {\pi }{2N}}\right)$). Mangka efisiensi na jadi 2/π, atawa kira-kira 64%. Catetan, efisiensi ieu ngarupakan efisiensi asimtot --- nyaéta limit efisiensi lamun ukuran n nuju ka tak terhingga. Keur lobana n anu terhingga bakal mibanda efisiensi nu leuwih gedé (conto, keus ukuran sample 3 mangka efisiensina kira-kira 74%).

Loba paniliti nu milih sampel median keur éstimator méan, sabab nguranganna efisiensi leuwih katembong keur sampel nu acak dina watesan henteu sensitifna data outlier.

Efisiensi relatif

Lamun $T$ jeung $T'$ mangrupa éstimators keur parameter θ, mangka penilti satuju yén T "leuwih efisien" batan T ′ lamun: (i) mean kuadrat kasalahan (MSE) leuwih leutik tinimbang sababaraha nilai $\theta$, jeung (ii) MSE teu leuwih gedé ti T ′ keur sakabéh nilai θ.

Sacara formal,

$E[(T-\theta )^{2}]\leq E[(T'-\theta )^{2}]$

keur sakabéh $\theta$, nu pakait raket di unggal tempat.

Efisiensi relatif bisa ogé dihartikeun

$e(T',T)={\frac {E[(T-\theta )^{2}]}{E[(T'-\theta )^{2}]}}.$

Sanajan e sacara umum fungsi θ, dina sababaraha kasus henteu pakait; mangka kitu, lamun e kurang ti hiji nembongkeun yén T leuwih hadé dipaké, henteu gumantung kana nilai θ sabenerna.

Rujukan

ditarjamahkeun tina Wikipedia Basa Inggris, Juli 2006