Fungsi nu ngahasilkeun momen

Dina téori probabilitas jeung statistika, fungsi nu ngahasilkeun momen tina variabel acak X nyaéta

$M_{X}(t)=E\left(e^{tX}\right).$

Fungsi ieu ngahasilkeun momen tina sebaran probabilitas:

$E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}M_{X}(t).$

Lamun X mibanda fungsi dénsitas probabilitas kontinyu f(x) mangka fungsi nu ngahasilkeun momen dibérékeun ku

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

$=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,$

di mana $m_{i}$ mangrupa momen ka-i.

Leupas tina sebaran probabilitas kontinyu atawa heunteuna, fungsi nu ngahasilkeun momen dibérékeun ku integral Riemann-Stieltjes

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)$

di mana F nyaéta fungsi sebaran kumulatif.

Konsép nu pakait kaasup fungsi karakteristik, fungsi nu ngahasilkeun probabilitas, jeung fungsi nu ngahasilkeun kumulan. Fungsi nu ngahasilkeun kumulan téh bentuk logaritma tina fungsi nu ngahasilkeun momen.