Dérét Fourier

Dina matematika, Dérét Fourier misah-misahkeun hiji fungsi périodik jadi sajumlah fungsi basajan anu ngayunambing (osilasi), nyaéta sinus jeung kosinus. Dérét Fourier diwanohkeun ku Joseph Fourier (1768–1830) nu tujuannana pikeun ngajawab persamaan panas dina lambaran métal. Hal ieu nimbulkeun révolusi dina matematika, maksa para ahli matematika pikeun mariksa deui dasar-dasar matematika sarta ngarah kana téori-téori modéren saperti integrasi Lebesgue.

Gagasan Fourier waktu harita nyaéta ngajadikeun modél sumber panas anu rumit jadi gabungan (atawa kombinasi liniér) gelombang-glombang sinus jeung kosinus basajan, sarta nulis jawabanana minangka gabungan jawaban-jawaban persamaan nu basajan kasebut (jawaban-jawaban eigen). Kombinasi liniér ieu disebut dérét Fourier.

Sanajan gagasan awalna nyaéta pikeun ngajawab [persamaan panas]], satuluyna jadi jelas yén téknik-téknik sarupa bisa diterapkeun kana karéréaan masalah matematika jeung fisika. Hasil dasarna kacida gampang dipikangartina ku cara ngagunakeun téori modéren.

Dérét Fourier réa dimangfaatkeun dina téhnik listrik, analisis geteran, akustika, optika, pamrosésan sinyal, pamrosésan citra, jeung sajabana.

Sajarah mekarna

Ngaran dérét Fourier nyokot tina ngaran Joseph Fourier (1768-1830), urang Perancis nu méré sumbangan gedé kana widang dérét trigonométri. Manéhna nerapkeun ieu téknik pikeun manggihan jawaban persamaan panas, nerbitkeun hasil awalna dina 1807 dina taun 1811, sarta nerbitkeun Théorie analytique de la chaleur dina taun 1822.

Dina panenjo moderen, hasil gawe Fourier rada informal, lantaran kurangna perlambang presisi pikeun fungsi jeung integral dina awal abad ka-19. Satuluyna, Dirichlet jeung Riemann ngagambarkeun hasil Fourier kalayan presisi nu leuwih alus tur resmi.

Hiji artikel révolusionér

	$\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.$ Kalikeun kadua sisi jeung $\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}$, sarta tuluy terapkeun operasi integral ti $y=-1$ nepi ka $y=+1$ mangka dihasilkeun: $a_i=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.$
—Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, pp. 218--219.

Dina sababaraha baris tulisan di luhur, Fourier sacara teu dihaja, ngalakukeun révolusi boh dina widang matematika boh dina widang fisika.

Lahirna analisis harmonik

Fourier mimitina ngadéfinisikeun dérét Fourier pikeun fungsi-fungsi nu boga ajen ril sarta ngagunakeun fungsi-fungsi sinus jeung kosinus minangka dasar pikeun misah-misahkeunana.

Ti saprak harita, kapanggih leuwih réa deui transformasi Fourier nu bisa kadéfinisikeun, ngalébérkeun gagasan awal kana panerapan-panerapan séjénna. Widang nu néangan transformasi Fourier pikeun fungsi-fungsi éta disebut analisis harmonik.

Définisi

Lamun x(t) ngalambangkeun hiji fungsi tina variabel bébas t mangka ieu fungsi biasana dianggap minangka fungsi périodik kalayan périoda 2π, dina kalimah sejen bisa dinyatakeun yén x(t+2π) = x(t), pikeun sakabéh angka ril t. Pikeun nuliskeun éta fungsi minangka pajumlahan dérét fungsi sinusioda anu tanpa wates réana, urang kudu ngagunakeun pajumlahan fungsi-fungsi sinus jeung kosinus anu tanpa wates dina interval [-π,π], saperti anu dilakukeun ku Fourier (tingali kutipan di luhur).

Rumus Fourier pikeun fungsi périodik $2\pi$ ku cara ngagunakeun fungsi-fungsi sinus jeung kosinus

Pikeun hiji fungsi périodik 2&pi x(t), angka-angka

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(t) \cos(nt)\, dt$

jeung

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(t) \sin(nt)\, dt$

disebut koéfisién Fourier tina x. Pajumlahan tanpa wates

$x(t) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt)]$

mangrupakeun dérét Fourier pikeun x dina interval [-π,π]. Dérét Fourier henteu kudu konvergén (ngurucut).

Conto: hiji dérét Fourier basajan

Gambar hiji fungsi périodik - hiji gelombang huntu ragaji.

Gambar animasi lima dérét Fourier parsial munggaran nu paturut-turut.

Ayeuna urang ngagunakeun rumus di luhur pikeun néangan dérét Fourier tina hiji fungsi nu basajan nyaéta fungsi huntu ragaji (saperti dijelaskeun dina gambar sabeulah katuhu):

$x(t) = t, \quad \mathrm{for} \quad -\pi < t < \pi,$

$x(t + 2\pi) = x(t), \quad \mathrm{for} \quad -\infty < t < \infty.$

Dina hal ieu, koéfisien Fourier ditangtukeun ku cara kieu:

$\begin{align} a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t \cos(nt)\,dt = 0. \\ b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t \sin(nt)\, dt = 2\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\end{align}$

Sahingga:

|$\begin{align} x(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nt\right)+b_n\sin\left(nt\right)\right] \\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nt), \quad \mathrm{for} \quad -\infty < t < \infty . \end{align}$ |Eq.1}}

Distribusi panas dina hiji pelat métal, ngagunakeun métoda Fourier

Urang bisa ningali yén dérét Fourier tina fungsi urang nu awal katémbong jauh leuwih basajan batan rumus x(t)=t. Sanajan loba conto panerapanana, di dieu ngan ditémbongkeun conto tina itungan nu dumasar kana motivasi Forier ngajawab persamaan panas. Contona, coba tempo hiji pelat métal nu bentukna segi opat nu sisi-sisina π méter, kalayan koordinat . Lamun euwueh sumber panas dina jero pelat, sarta lamun tilu ti opat sisi kasebut tetep dina 0 darajat celsius, samentara sisi nu kaopat, nu digambarkeun ku y=π, tetep dina gradién suhu T(x,π) = x darajat celsius, pikeun x dina (0,π), mangka urang bisa nempo yén distribusi panas stasionér (atawa distribusi panas dina sawatara waktu nu lila geus kaliwat) dinyatakeun ku

$T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.$

Di dieu, sinh nyaéta fungsi sinus hiperbolik. Jawaban pikeun persamaan panas kasebut kapanggih ku cara ngalikeun masing-masing séké dina persamaan (Eq.1) jeung sinh(ny)/sinh(nπ). Sanajan dina conto ieu f(x) kaciri mibanda dérét Fourier nu kacida rumit, distribusi panas T(x,y) mah nontrivial. Fungsi T teu bisa ditulis minangka closed-form expression. Métode ngajawab pasualan panas ieu ngan dimungkinkeun ku gawéna Fourier.

Vérsi modéren nu ngagunakeun éksponénsial kompléks =

Ku cara ngagunakeun rumus Euler, $e^{jn\omega_o t}=\cos(n \omega_o t)+j\sin(n \omega_o t)$, dimana $j$ nyaéta unit imajinér, urang bisa ngagambarkeun dérét Fourier jadi rumus nu leuwih ringkes:

Upamana waé x(t) ngarupakeun hiji sinyal périodik kalayan périoda T_o. Mangka urang ngadéfinisikeun dérét Fourier éksponénsial kompléks x(t) minangka

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_o t}.$

dimana $\omega_o = \frac{2\pi}{T_o} = 2\pi f_o$, nu dingaranan frékuénsi sudut fundaméntal.

Koéfisién-koéfisién Fourier ditetepkeun minangka:

$c_n = \frac{1}{T_o}\int_{t_o}^{t_o + T_o} x(t) e^{-jn\omega_o t}\ dt.$

dimana $t_o$ harga sabaraha wae.

Lamun ditetepkeun $t_o = -\frac{T_o}{2}$

mangka:

$c_n = \frac{1}{T_o}\int_{-\frac {T_o} {2}}^{ \frac {T_o}{2} } x(t) e^{-jn\omega_o t}\ dt.$

Spéktrum Fourier

Lamun sinyal périodik x(t) téh ril, mangka:

$c_n = |c| e^{j\theta_n}$ sarta $c_-n = c_n^* = |c| e^{-j\theta_n}$

dimana |c_n| mangrupakeun amplitudo, $\theta_n$ mangrupakeun sudut fase ti $c_n$, sarta tanda béntang nunjukkeun konjugat kompléks.

Catet yén:

$|c_-n| = |c_n|$ sarta $\theta_n = -\theta_n$

Grafik |c_n| vérsus frékuénsi sudut $\omega = 2\pi f$ disebut spéktrum apmlitudo tina sinyal périodik x(t). Grafik $\theta_n$ vérsus $\omega$ disebut spéktrum fase tina x(t). Kadua grafik ieu disebut spéktrum frékuénsi x(t). Lantaran indéks $n$ ngan boga harga-harga jinek (bulat), mangka spéktrum frékuénsi sinyal périodik ngan aya pikeun frékuénsi-frékuénsi disktrit $n\omega_o$.

Kandungan daya tina hiji sinyal périodik

Kandungan daya tina hiji sinyal périodik x(T) nu boga périoda T_o ditetepkeun salaku harga rata-rata kuadrat dina hiji périoda:

$P = \tfrac{1}{T_o} \int_{-\tfrac{T_o}{2}}^{\tfrac{T_o}{2}}|x(t)|^2 \mathrm{d}t$

Téoréma Parseval pikeun dérét Fourier

Téoréma Parseval pikeun dérét Fourier nganyatakeun yén lamun x(t) mangrupakeun hiji sinyal périodik kalayan périoda T_o, mangka

$\tfrac{1}{T_o} \int_{-\tfrac{T_o}{2}}^{\tfrac{T_o}{2}}|x(t)|^2 \mathrm{d}t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2$

Tempo ogé

• Transformasi Fourier
• Analisis Harmonik

Rujukan

1. Hsu, Hwei P., Schaum's Outline of Theory and Problems of Analog and Digital Communications, McGraw Hill, 1993