Téoréma Cochran

Dina statistika, téoréma Cochran digunakeun dina analisis varian.

Anggap U₁, ..., U_n mangrupa standar variabel random bebas nu kasebar normal, sarta dina bentuk identitas

$\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=Q_{1}+\cdots +Q_{k}$

bisa dituliskeun yén unggal Q_i nyaéta jumlah kuadrat kombinasi liniér tina U. Mangka lamun

$r_{i}+\cdots +r_{k}=n$

nu mana r_i mangrupa rangking tina Q_i, téorema Cochran nangtukeun yén Q_i bébas sarta Q_i mibanda sebaran chi-kuadrat nu mibanda tingkat kabebasan r_i.

Téoréma Cochran mangrupa konversi téoréma Fisher.

Conto

Lamun X₁, ..., X_n mangrupa variabel random bébas nu kasebar normal mibanda méan μ sarta simpangan baku σ mangka

$U_{i}=(X_{i}-\mu )/\sigma$

mangrupa standar normal keur unggal i.

Ieu mungkin keur nulis

$\sum U_{i}^{2}=\sum \left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}$

(di dieu, jumlahna ti 1 nepi ka n, dumasar kana observasi). Keur nempo ieu identitas, kalikeun ku $\sigma$ sarta catet yen

$\sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}}+{\overline {X}}-\mu )^{2}$

sarta legaan keur manggihkeun

$\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum ({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum (X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).$

Watesan katilu sarua jeung nol sabab ieu angger kana waktu

$\sum ({\overline {X}}-X_{i}),$

sarta watesan kadua ngan watesan n identik nu ditambahkeun babarengan.

Kombinasi di luhur ngahasilkeun (sarta dibagi ku σ²), urang mibanda:

$\sum \left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum \left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.$

Ayeuna rengking Q₂ ngan 1 (ieu mangrupa kuadrat tina hiji kombinasi linier variabel normal standar). Rengking Q₁ bisa ditembongkuen jadi n − 1, sarta kondisi téorema Cochran kapanggih.

Téorema Cochran netepkeun yén Q₁ and Q₂ mangrupa bébas, mibanda sebaran chi-kuadrat n − 1 sarta 1 tingkat kabébasan.

Ieu nembongkeun yén sampel méan sarta sampel varian bébas; sarta

$({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{1}^{2}.$

Keur estimasi varian &sigma², hiji éstimator nu biasa digunakeun nyaéta

${\hat {\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}$.

Téorema Cochran nembongkeun yen

${\hat {\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{n-1}^{2}$

nu nembongkeun yén nilai ekspektasi ${\hat {\sigma }}^{2}$ nyaéta σ²n/(n − 1).

Dua sebaran ieu mangrupa proporsi kana varian sabenerne tapi teu dipikanyaho σ²; mangka ieu rasio mangrupa σ² bébas sabab duana bébas, mangka urang miboga

${\frac {\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}\sim F_{1,n}$

nu mana F_1,n mangrupa sebaran-F nu mibanda 1 sarta n tingkat kabébasan (tempo ogé sebaran-t student).